Mencari KPK 105 Dan 135: Panduan Lengkap

by Jhon Lennon 41 views

Halo, guys! Pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang nyuruh nyari KPK dari dua angka? Nah, kali ini kita bakal kupas tuntas soal mencari KPK dari 105 dan 135. Jangan sampai pusing duluan ya, karena sebenarnya gampang banget kalau kita tahu caranya. Artikel ini bakal jadi panduan super lengkap buat kalian biar makin jago matematika.

Apa Itu KPK? Kenalan Dulu Yuk!

Sebelum kita ngomongin soal KPK dari 105 dan 135, ada baiknya kita kenalan dulu sama si KPK ini. KPK itu singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil. Kedengarannya mungkin agak rumit, tapi intinya gini, guys: KPK dari dua atau lebih bilangan adalah bilangan positif terkecil yang merupakan kelipatan dari semua bilangan tersebut. Bingung? Tenang, kita pakai contoh simpel. Misalnya, KPK dari 4 dan 6. Kelipatan 4 itu 4, 8, 12, 16, 20, 24, dan seterusnya. Nah, kelipatan 6 itu 6, 12, 18, 24, 30, dan seterusnya. Kalau kita lihat, ada angka yang sama-sama muncul di daftar kelipatan 4 dan 6, kan? Angka-angka itu namanya kelipatan persekutuan. Contohnya 12, 24, dan seterusnya. Nah, dari semua kelipatan persekutuan itu, mana yang paling kecil? Yap, benar, 12. Jadi, KPK dari 4 dan 6 adalah 12.

Kenapa sih kita perlu tahu KPK? Sebenarnya, konsep KPK ini sering banget muncul dalam kehidupan sehari-hari, meskipun kita nggak sadar. Misalnya, kalau kalian punya dua jadwal yang harus ketemu di hari yang sama, tapi jadwalnya nggak barengan. Misalnya, kamu les piano setiap 3 hari sekali, dan kamu les renang setiap 4 hari sekali. Kapan kalian bakal ketemu lagi di hari les yang sama? Nah, jawabannya adalah di kelipatan persekutuan terkecil dari 3 dan 4, yaitu 12 hari. Jadi, 12 hari lagi kalian bakal les bareng di hari yang sama. Keren kan? Memahami KPK itu penting banget buat memecahkan berbagai masalah logika dan perhitungan.

Dalam konteks soal ini, kita akan fokus pada KPK dari 105 dan 135. Angka-angka ini memang sedikit lebih besar dari contoh tadi, tapi prinsipnya tetap sama. Nggak perlu takut, kita bakal bedah tuntas langkah demi langkah biar kalian semua paham. Siapkan catatan kalian, mari kita mulai petualangan mencari KPK yang menantang ini!

Metode Mencari KPK: Mana yang Paling Cocok?

Nah, buat mencari KPK itu ada beberapa cara, guys. Nggak usah bingung mau pakai yang mana, nanti aku jelasin semua metode yang paling umum dan gampang dipahami. Kalian tinggal pilih aja mana yang paling nyantol di otak kalian. Yang paling penting adalah hasil akhirnya sama, yaitu KPK dari 105 dan 135 yang akan kita temukan nanti.

1. Metode Mendaftar Kelipatan (Kurang Efektif untuk Angka Besar)

Metode pertama ini sebenernya sama kayak contoh KPK 4 dan 6 tadi. Kita cukup mendaftar kelipatan dari masing-masing angka sampai kita menemukan kelipatan yang sama. Untuk angka kecil sih oke-oke aja, tapi kalau angka kita udah lumayan gede kayak 105 dan 135, cara ini bisa bikin kita capek nulis dan ngitungnya. Bayangin aja, kelipatan 105 itu kan 105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 945, 1050, 1155, 1260, 1365, 1470, 1575, 1680, 1785, 1890, 1995, 2100, ... wah, panjang banget kan? Terus kelipatan 135 juga gitu. Nggak kebayang deh kalau kita harus terusin sampai ketemu angka yang sama. Jadi, metode ini cocoknya buat pemanasan atau buat angka-angka yang gampang banget.

2. Metode Pohon Faktor (Faktorisasi Prima)

Ini nih, metode yang paling sering diajarin di sekolah dan paling ampuh buat angka berapa pun. Namanya faktorisasi prima. Caranya gini: kita cari dulu faktorisasi prima dari masing-masing angka. Faktorisasi prima itu artinya kita memecah angka menjadi perkalian bilangan-bilangan prima. Bilangan prima itu apa? Bilangan yang cuma bisa dibagi sama 1 dan dirinya sendiri, contohnya 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan seterusnya. Kalau udah dapet faktorisasi primanya, baru kita bisa nyari KPK-nya. Gimana caranya? Gampang! Kita ambil semua faktor prima yang ada dari kedua bilangan. Kalau ada faktor prima yang sama, kita ambil yang pangkatnya paling tinggi. Terus semua faktor prima itu kita kalikan. Hasil perkaliannya itulah KPK-nya. Metode ini terjamin akurat dan nggak bikin pusing tujuh keliling, guys!

3. Metode Tabel (Garisan)

Metode lain yang juga efektif adalah metode tabel atau sering juga disebut metode garisan. Cara kerjanya mirip dengan faktorisasi prima tapi disajikan dalam bentuk tabel yang lebih rapi. Kita buat kolom-kolom di mana setiap kolom mewakili pembagian dengan bilangan prima. Kita mulai dengan membagi kedua angka (105 dan 135) dengan bilangan prima terkecil yang bisa membagi salah satunya atau keduanya. Kalau ada angka yang tidak habis dibagi, kita turunkan saja ke baris berikutnya. Proses ini diulang terus sampai semua angka di baris terakhir menjadi angka 1. Nah, KPK-nya itu adalah hasil perkalian semua bilangan prima yang kita gunakan sebagai pembagi di sebelah kiri tabel. Metode ini sangat visual dan membantu banget buat yang suka lihat prosesnya langkah demi langkah. Cocok juga buat mengorganisir perhitunganmu.

Untuk mencari KPK dari 105 dan 135, kita akan lebih fokus pada metode faktorisasi prima dan metode tabel karena lebih efisien. Yuk, kita langsung praktekin!

Langkah-langkah Mencari KPK 105 dan 135 dengan Faktorisasi Prima

Oke, guys, siap-siap ya! Kita bakal pakai metode pohon faktor atau faktorisasi prima buat nyari KPK dari 105 dan 135. Metode ini dijamin ampuh dan bikin kalian ngerti banget prosesnya. Ayo kita mulai!

Faktorisasi Prima 105

Pertama, kita cari faktorisasi prima dari angka 105. Kita bagi 105 dengan bilangan prima terkecil yang bisa membaginya. Bilangan prima terkecil adalah 2. Apakah 105 bisa dibagi 2? Nggak bisa, karena 105 itu ganjil. Oke, coba bilangan prima selanjutnya, yaitu 3. Apakah 105 bisa dibagi 3? Ya, bisa! 105 dibagi 3 hasilnya adalah 35. Sekarang kita punya 3 dan 35. Angka 3 sudah bilangan prima, jadi aman. Sekarang kita fokus ke angka 35. Apakah 35 bisa dibagi 3? Nggak bisa. Coba bilangan prima selanjutnya, yaitu 5. Apakah 35 bisa dibagi 5? Ya, bisa! 35 dibagi 5 hasilnya adalah 7. Sekarang kita punya 5 dan 7. Angka 5 sudah bilangan prima. Dan angka 7 juga sudah bilangan prima! Wah, mantap! Jadi, faktorisasi prima dari 105 adalah 3 x 5 x 7.

Kita bisa tulis dalam bentuk pangkat kalau ada angka prima yang sama, tapi di sini semuanya beda. Jadi, faktorisasi primanya adalah 3¹ x 5¹ x 7¹.

Faktorisasi Prima 135

Sekarang, giliran angka 135. Kita cari faktorisasi primanya juga. Mulai dari bilangan prima terkecil. Bisa dibagi 2? Nggak, karena 135 ganjil. Coba 3. Apakah 135 bisa dibagi 3? Ya! 135 dibagi 3 hasilnya adalah 45. Sekarang kita punya 3 dan 45. Angka 3 sudah prima. Sekarang fokus ke 45. Apakah 45 bisa dibagi 3? Ya! 45 dibagi 3 hasilnya adalah 15. Sekarang kita punya 3, 3, dan 15. Angka 3 sudah prima. Sekarang fokus ke 15. Apakah 15 bisa dibagi 3? Ya! 15 dibagi 3 hasilnya adalah 5. Sekarang kita punya 3, 3, 3, dan 5. Angka 3 sudah prima, dan angka 5 juga sudah prima! Sempurna!

Jadi, faktorisasi prima dari 135 adalah 3 x 3 x 3 x 5. Kalau ditulis dalam bentuk pangkat, ini jadi 3³ x 5¹.

Menghitung KPK dari Faktorisasi Prima

Nah, kita udah punya faktorisasi prima dari kedua angka:

  • 105 = 3¹ x 5¹ x 7¹
  • 135 = 3³ x 5¹

Sekarang, saatnya nyari KPK-nya. Ingat aturan mainnya, guys: ambil semua faktor prima yang ada di kedua bilangan, baik yang sama maupun yang beda. Kalau ada faktor prima yang sama, pilih yang pangkatnya paling besar.

Faktor prima yang ada adalah 3, 5, dan 7.

  • Untuk faktor prima 3: Pangkatnya ada 1 (dari 105) dan 3 (dari 135). Kita ambil yang paling besar, yaitu 3³.
  • Untuk faktor prima 5: Pangkatnya sama-sama 1 (dari 105 dan 135). Kita ambil 5¹.
  • Untuk faktor prima 7: Hanya ada di 105 dengan pangkat 1. Kita ambil 7¹.

Sekarang, tinggal kita kalikan semua faktor prima yang sudah kita pilih tadi: 3³ x 5¹ x 7¹.

Mari kita hitung:

  • 3³ = 3 x 3 x 3 = 27
  • 5¹ = 5
  • 7¹ = 7

Jadi, KPK-nya adalah 27 x 5 x 7.

  • 27 x 5 = 135
  • 135 x 7 = 945

Jadi, KPK dari 105 dan 135 adalah 945! Gimana, guys? Gampang kan kalau pakai metode ini? Nggak perlu lama-lama nungguin kelipatan yang sama muncul sendiri.

Mencari KPK 105 dan 135 dengan Metode Tabel

Biar makin mantap dan kalian punya pilihan lain, yuk kita coba cari KPK dari 105 dan 135 pakai metode tabel.

Kita buat tabel, terus kita mulai membagi 105 dan 135 dengan bilangan prima terkecil.

   | 105 | 135 |
----------------
 3 |  35 |  45 |
----------------
 3 |  35 |  15 |
----------------
 3 |  35 |   5 |
----------------
 5 |   7 |   1 |
----------------
 7 |   1 |   1 |
----------------

Penjelasannya gini, guys:

  1. Kita mulai dengan angka 105 dan 135. Bilangan prima terkecil yang bisa membagi salah satunya adalah 3. 105 dibagi 3 = 35. 135 dibagi 3 = 45. Kita tulis 3 di sebelah kiri, dan hasilnya 35 dan 45 di bawahnya.
  2. Sekarang kita punya 35 dan 45. Keduanya masih bisa dibagi 3. 35 tidak habis dibagi 3, jadi kita turunkan saja 35. Tapi 45 dibagi 3 = 15. Kita tulis lagi 3 di sebelah kiri, dan hasilnya 35 dan 15 di baris berikutnya.
  3. Sekarang kita punya 35 dan 15. Keduanya masih bisa dibagi 3. 35 tetap turunkan. 15 dibagi 3 = 5. Tulis 3 lagi di kiri, hasilnya 35 dan 5.
  4. Sekarang kita punya 35 dan 5. Keduanya tidak bisa dibagi 3 lagi. Coba bilangan prima selanjutnya, yaitu 5. 35 tidak habis dibagi 5, tapi 5 dibagi 5 = 1. Oh, tunggu dulu, guys. Ada koreksi dikit di penjelasan tabelku tadi. Kalau angka nggak habis dibagi, itu nggak selalu diturunkan dulu. Sebaiknya kita cari faktor prima yang bisa membagi salah satu atau keduanya. Mari kita perbaiki langkahnya agar lebih presisi.

Mari kita ulangi metode tabel dengan lebih tepat:

   | 105 | 135 |
----------------
 3 |  35 |  45 |
----------------
 5 |   7 |   9 |
----------------
3  |   7 |   3 |
----------------
3  |   7 |   1 |
----------------
7  |   1 |   1 |
----------------

Penjelasan yang direvisi:

  1. Kita mulai dengan 105 dan 135. Bilangan prima terkecil yang bisa membagi keduanya (atau salah satunya) adalah 3. 105 / 3 = 35. 135 / 3 = 45. Jadi, di sebelah kiri kita tulis 3, dan di bawahnya ada 35 dan 45.
  2. Sekarang kita punya 35 dan 45. Bilangan prima terkecil yang bisa membagi salah satunya adalah 5. 35 / 5 = 7. 45 tidak habis dibagi 5, tapi kita bisa membaginya dengan prima lain. Oh, tunggu lagi, guys. Ada cara yang lebih mudah untuk memahami tabel ini. Kita cari bilangan prima yang bisa membagi setidaknya salah satu angka. Kalau bisa membagi keduanya, bagus. Kalau tidak, kita cari yang bisa membagi salah satunya saja. Tapi, agar tabelnya efisien, biasanya kita akan membagi dengan bilangan prima yang bisa membagi keduanya terlebih dahulu jika memungkinkan, lalu baru membagi dengan bilangan prima lain untuk angka yang tersisa.

Mari kita coba cara lain yang lebih umum untuk tabel:

   | 105 | 135 |
----------------
 3 |  35 |  45 |
----------------
 5 |   7 |   9 |
----------------
3  |   7 |   3 |
----------------
3  |   7 |   1 |
----------------
7  |   1 |   1 |
----------------

Oke, ini dia cara yang lebih tepat dan umum digunakan:

  1. Kita mulai dengan angka 105 dan 135. Kita cari bilangan prima terkecil yang dapat membagi salah satu atau kedua angka tersebut. Bilangan prima 3 bisa membagi 105 (menjadi 35) dan 135 (menjadi 45). Jadi, kita tulis 3 di kolom pembagi. Di bawahnya, kita tulis hasil pembagiannya: 35 dan 45.
  2. Sekarang kita punya 35 dan 45. Kita cari lagi bilangan prima terkecil. Bilangan prima 5 bisa membagi 35 (menjadi 7), tapi tidak bisa membagi 45 dengan hasil bilangan bulat. Namun, kita bisa membagi 45 dengan 3 (menjadi 15). Nah, di sini kadang ada sedikit variasi cara. Ada yang langsung membagi dengan pembagi yang bisa keduanya, ada yang membagi satu per satu. Untuk metode ini, kita cari pembagi yang bisa membagi setidaknya satu dari angka-angka tersebut.

Mari kita kembali ke cara tabel yang lebih mudah dipahami, yang mana kita prioritaskan membagi angka yang sama atau angka yang berbeda.

   | 105 | 135 |
----------------
 3 |  35 |  45 |
----------------
 3 |  35 |  15 |
----------------
 3 |  35 |   5 |
----------------
 5 |   7 |   1 |
----------------
7  |   1 |   1 |
----------------

Penjelasan terstruktur:

  1. Kita punya 105 dan 135. Keduanya bisa dibagi 3. 105/3 = 35, 135/3 = 45. Tulis 3 di kiri. Hasilnya 35, 45.
  2. Kita punya 35 dan 45. 35 tidak bisa dibagi 3, tapi 45 bisa. 45/3 = 15. Karena 35 tidak bisa dibagi 3, kita turunkan saja 35. Tulis 3 lagi di kiri. Hasilnya 35, 15.
  3. Kita punya 35 dan 15. 35 tidak bisa dibagi 3, tapi 15 bisa. 15/3 = 5. Tulis 3 lagi di kiri. Hasilnya 35, 5.
  4. Kita punya 35 dan 5. Keduanya tidak bisa dibagi 3 lagi. Bilangan prima selanjutnya adalah 5. 35/5 = 7. 5/5 = 1. Tulis 5 di kiri. Hasilnya 7, 1.
  5. Kita punya 7 dan 1. 1 sudah selesai. Sekarang kita punya 7. Bilangan prima selanjutnya adalah 7. 7/7 = 1. Tulis 7 di kiri. Hasilnya 1, 1.

Proses selesai ketika semua angka di baris terakhir adalah 1.

Sekarang, untuk mencari KPK-nya, kita kalikan semua bilangan prima yang ada di kolom sebelah kiri: 3 x 3 x 3 x 5 x 7.

Ini sama dengan 3³ x 5¹ x 7¹.

Mari kita hitung:

  • 3 x 3 x 3 = 27
  • 27 x 5 = 135
  • 135 x 7 = 945

Hasilnya sama, guys! KPK dari 105 dan 135 adalah 945. Metode tabel ini juga sangat membantu untuk visualisasi langkah-langkahnya.

Mengapa KPK 105 dan 135 Adalah 945?

Jadi, kenapa sih jawabannya pasti 945? Kita sudah membuktikannya dengan dua metode berbeda, jadi ini bukan kebetulan, guys. Intinya adalah kita mengambil semua faktor prima yang unik dari kedua bilangan tersebut, dan jika ada faktor yang sama, kita selalu memilih pangkat yang paling tinggi.

Dari faktorisasi prima:

  • 105 = 3¹ x 5¹ x 7¹
  • 135 = 3³ x 5¹

Kita lihat faktor prima 3. Di 105 pangkatnya 1, di 135 pangkatnya 3. Kita ambil yang paling tinggi, yaitu 3³. Nilainya adalah 27.

Kita lihat faktor prima 5. Di 105 pangkatnya 1, di 135 pangkatnya 1. Pangkatnya sama, jadi kita ambil 5¹ atau 5. Nilainya adalah 5.

Kita lihat faktor prima 7. Di 105 pangkatnya 1, di 135 tidak ada. Tapi kita harus mengambil semua faktor yang ada di salah satu bilangan. Jadi, kita ambil 7¹. Nilainya adalah 7.

Ketika kita kalikan 3³ x 5¹ x 7¹ (yaitu 27 x 5 x 7), hasilnya adalah 945. Angka 945 ini adalah kelipatan dari 105 (karena 945 / 105 = 9) dan juga kelipatan dari 135 (karena 945 / 135 = 7). Dan yang terpenting, ini adalah kelipatan persekutuan terkecil karena kita menggunakan semua faktor prima dengan pangkat tertinggi yang diperlukan untuk mencakup kedua bilangan tersebut.

Memahami konsep ini penting banget karena ini adalah dasar dari banyak perhitungan matematika yang lebih kompleks. Jadi, jangan cuma dihafal rumusnya, tapi pahami juga logikanya ya, guys!

Kesimpulan: KPK 105 dan 135 Itu Mudah!

Nah, gimana, guys? Setelah kita bedah tuntas pakai dua metode yang berbeda, sekarang pasti udah lebih pede kan buat nyari KPK dari 105 dan 135? Jawabannya adalah 945. Ingat, kunci utamanya adalah faktorisasi prima. Pecah angka menjadi perkalian bilangan prima, lalu ambil semua faktor prima yang ada, pilih pangkat tertinggi jika ada yang sama, dan kalikan semuanya. Mudah banget, kan?

Jangan pernah takut sama soal matematika, apalagi yang berkaitan dengan KPK, FPB, atau konsep dasar lainnya. Dengan latihan yang cukup dan pemahaman yang baik, kalian pasti bisa jadi jago matematika. Terus semangat belajar, dan jangan ragu untuk bertanya kalau ada yang belum jelas ya!

Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian semua. Sampai jumpa di artikel berikutnya dengan pembahasan matematika yang seru lainnya!